2012年3月，你和同事在讨论使用NYSEEuronextParis交易的CAC40指数期权品种（PXA）的策略。这些期权是标的资产为CAC40指数的欧式期权。它们将在12个月内到期。CAC40指数的实际波动率为每年30%。假定该指数的股息收益率为3%，无风险收益率为1%（均为连续复利）。CAC40目前成交点位为3500点。下述表格提供了其他相关信息：

期权交易价格并不必然等于其理论价值。合约规模为每个指数点对应10欧元。你和你同事都预期CAC40指数在合约到期日前不会大涨大跌，现在你们寻找一种策略来利用这种预期。

a)  你同事建议使用蝶式价差期权，具体而言，卖出两个平值期权，买入一个深度实值期权和一个深度虚值期权。她想让你先尝试使用买权。假定：你分别使用40份平值买权合约、20份实值买权合约和20份虚值卖权合约。

a1）计算该策略（使用买权的蝶式价差期权）的初始投资额。（2分）

a2）写出到期日策略收益值（终值V_T）与CAC40指数值的函数关系式。用数字和

（或）字母填写下面空白处。

   （5分）

a3）计算蝶式价差期权的最大利润和（或）最大损失以及盈亏平衡点。（6分）

a4）画图显示到期日蝶式价差期权的利润/损失（每指数单位）。标上坐标轴并显示相关水平。（5分）

0

b)  假定你持有该蝶式价差期权直至到期，其收益是什么？风险是什么？该策略是否与你预期一致？（5分）

c)  请看短期收益和风险。计算蝶式价差期权的敏感系数。当波动加大时该蝶式价差期权如何反应？请选用合适的敏感系数回答。（12分）

d)  假定该蝶式价差期权的θ为16,470。假定其他参数不变，利用其一阶偏导特性近似估计蝶式价差期权一个月后的价值。你的盈利和亏损金额是多少？（5分）

e)  你同事建议使用卖权替代买权来构建蝶式价差期权。描述你需要买入或卖出哪种卖权、多少卖权以在到期日达到与上述a）相同的收益。初始投资是否与使用买权相同？（6分）

最后你探讨第三种构建蝶式价差期权的可能性：卖出2个平值期权，其中一个买权、一个卖权，同时买入一个虚值买权和一个虚值卖权。假定你每类合约交易数均为20份，在此情形下，你的初始投资是多少？计算最大的利润和（或）损失以及盈亏平衡点。另外，你忽略期权费的利息，如果利息存在的话。与其他两种相比，你是否更偏好第三种可能？请给出理由。（10分）

【答案】

a1）

本小题中策略的初始成本（=净支出的费用）为：

  （2分）

a2）（5分）

解释：

如果S_T位于2,800和3,500之间，执行价格2,800的买权的价值为：200∙（S_T-2,800）。如果S_T大于3,500，卖出的执行价格3,500的买权将被行权，同时会执行价格2800的买权将被行权,因此该策略的价值变成：200∙（S_T-2,800）–400∙（S_T–3,500）=200∙[S_T–2∙S_T+2∙3,500-2’800]=200∙[4,200-S_T]。如果S_T小于2,800，执行价格2,800的卖权价值是200∙（2,800-S_T）。

a3）

当CAC40在到期日趋于正无穷大时,该策略获得最大损失:无穷大。

当S_T=0时，该策略取得最大利润：200∙（2,800-0）–27,548=532,452。

该策略的盈亏平衡点计算如下：

    （6分）

a4）        （5分）

[注：如果考生在做图时考虑了最初的投资成本，将导致上述图形向下平移137.74个单位；部分考生可能考虑了合约规模，不是之间以点数来表示。只要表示的意思和本答案一致，都可以给分。]

b）

收益：当到期日CAC40位于以下两个区间[0,2662.26]和[2937.74,4062.26]内时,此策略取得利润。当标的价格为0时，此策略可以取得最大回报。（2分）

风险：损失可能达到无穷大。当到期日CAC40大于4,062.26或者位于[2062.26,2937.74]范围内,此策略可以遭受损失。（2分）

此策略虽然是具有无限风险的期权,但当CAC40波动不大时,此策略将获益，因此与上文提及的预期相一致。（1分）

c）因为

此策略的敏感系数计算如下：

维佳为负。因此，如果波动率增加，蝶式价差期权的价值将减小。（计算8分，评论4分）

d）

一个月后蝶式价差期权价值的变化大约为：

（2.5分）

因此（假定其他参数不变）我们可以算出一个月后的价值为：

（2.5分）

e）[此题答案略受干扰，如果以上按笔误计算，则无法构造新的策略。]

同样的效果通过如下策略取得：买入20份执行价格为2,800的卖权、卖出40份执行价格为3,500的卖权、买入20份执行价格为4,200的卖权。（4分）

初始成本为：

（2分）

购买使用卖权的蝶式价差期权要稍微便宜些。这是因为买权卖权平价关系被（轻微）打破。如果平价关系成立，使用买权和使用卖权构建的蝶式价差期权的成本相同。
    

f）构建蝶式价差期权的第三种方法有时被称为“铁蝴蝶”。买20份执行价格2,800的卖权，卖20份执行价格3,500的卖权，卖20份执行价格3,500的买权，买20份执行价格4,200的卖权。

初始成本为正，意味着存在初始收益：

（2分）

到期日标的指数为3,500时，该策略取得最大利润，等于初始收益104,800.。（2分）

当指数低于2,800或高于4,200，该策略亏损最大，最大亏损为：

（2分）

盈亏平衡点为2,976[=3,500-524]和4,024[=3,500+524]。（2分）

铁蝴蝶是一种初始收益的价差期权，而其他两种是初始成本的价差期权。铁蝴蝶始于最大收益而其他两种始于最大损失。如果我们忽略二阶导利息效应，到期日终值基本相同。敏感系数也是如此。如果我们想投资初始收益为正的蝶式期权，铁蝴蝶是一个不错的选择。（2分）

解释（另外一种解题思路）：到期日利润/损失为：